河北省邢台一中2013-2014学年高二下学期第三次月考数学理试题 Word版含答案[ 高考]

发布于:2021-09-25 00:48:15

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河北省邢台一中 2013—2014 学年高二下学期第三次月考数学理试题

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)

1. 已知 M ? {x | y ? x2 ?1}, N ? {y | y ? x2 ?1},则M N 等于 ( )

A. N

B. M

C. R

D. ?

2. i 是虚数单位,则复数 2i 的虚部为 1? i

()

A. ? i

B. 1

C.1

D. i

3. 一个学生能够通过某种英语听力测试的概率是 1 ,他连续测试 2 次,那么其中恰有一次获得通过的概 2

率是

()

A. 1 4

B. 1 3

C. 1 2

D. 3 4

4.命题 P:若 a, b ? R, 则 a ? b ? 1|是 a ? b ? 1 的充分不必要条件;命题 q:不等式| x |? x 的解 x ?1 x ?1

集为{x | 0 ? x ? 1} ,则

()

A.“p 或 q” 为假命题 C.“┒p 或 q” 为假命题

B.“p 且 q” 为真命题 D.“┒p 且 q” 为真命题

5. (1 ? x 3 )(1 ? x)10 的展开式中, x 5 的系数是

()

A. ? 297 B. ? 252 C.297
6.下列函数中,在[-1,0]上单调递减的是

D.207 ()

A. y ? cos x

B. y ? ? | x ?1|

C. y ? ln 2 ? x D. y ? ex ? e?x 2? x

7.一位母亲纪录了儿子 3?9 岁的身高数据(略),她根据这些数据建立的身高 y(cm)与年龄 x 的回归模

型为 y =7.19x+73.93,用此模型预测孩子 10 岁时的身高,则有

()

A.身高一定是 145.83cm C.身高在 145.83cm 以上

B.身高在 145.83cm 左右 D.身高在 145.83cm 以下

? 8.

1 ?? 0?

1? ?x ?1?2 ? x ??dx ?
?

( ).

A、 ? ? 1 82

B、 ? ? 1 42

C、 ? 8

D、1? ? 4

9.设 ?ABC 的三边长分别为 a、b、c, ?ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r=a+2bS+c;类比这个结论

可知:四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4 内切球的半径为 r,四面体 P-ABC 的体

积为 V,则 r=

(

)

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V A . S1 ? S2 ? S3 ? S4
3V C.
S1 ? S2 ? S3 ? S4

2V B . S1 ? S2 ? S3 ? S4
4V D . S1 ? S2 ? S3 ? S4

10.某校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、英语三门文化课和音乐、体育、美术三种艺术课各一节,

则在课表上的相邻 2 节文化课之间至少间接一节艺术课的概率为:( )

A. 1 10

B. 1 5

C. 4 27

D. 2 9

?ax ?1 11.已知函数 f (x) ? ?

(x ? 1) , 若f (x)在(??, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围

?(2a ? 3)x ? 3a ? 6 (x ? 1)

是( )

A.{a | 3 ? a ? 2} B.{a | a ? 2} 2

C.{a | a ? 3} 2

D.{a | a ? 2}

12.已知函数

f

(x)

?

?? ln ?

x

(0 ? x ? e) 若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ?

f (b) ?

f (c), 则 a ? b ? c 的取值

??2 ? ln x ( x ? e)

范围为

()

A. (1 ? e,1 ? e ? e 2 ) B. (1 ? 2e,2 ? e 2 ) C. (2 1 ? e 2 ,2 ? e 2 ) D. (2 1 ? e 2 , 1 ? 2e)

e

e

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. 函数 f (x) ? x2 ? 3xf '(1), 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为_______________.

14. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N (0,? 2 ) 且 P(?2 ? X ? 0) ? 0.4 则 P( X ? 2) ?

__________________.

a?b ? b?c

15. 若 对 任 意 的 实 数 a, b, c(a ? c) , 都 有 2x ? 1 ?

恒成立,则 x 的取值范围是

a?c

_______________________________.

16.已知数列 ?an ? 为等差数列,则有

a1 ? 2a2 ? a3 ? 0,

a1 ? 3a2 ? 3a3 ? a4 ? 0

a1 ? 4a2 ? 6a3 ? 4a4 ? a5 ? 0

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写出第四行的结论__________________________ 三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) ?| 2x ?1| ? | 2x ? 3 | .
(I)求不等式 f (x) ? 6 的解集;
(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f (x) ?| a ?1| 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围。
18. (本小题满分 12 分)
? ? ? ? 设 A ? x x 2 ? 4x ? 0 , B ? x x 2 ? 2(a ? 1)x ? a 2 ? 1 ? 0 .
(1)若 A ? B ? B, 求 a 的值; (2)若 A ? B ? B, 求 a 的值.
19.(本小题满分 12 分)
用数学归纳法证明:当 n 为正整数时,13 ? 23 ? 33 ? ?? ? n3 ? n2 (n ? 1)2 4
20. (本小题满分 12 分) 某商场决定从 3 种服装,2 种家电,3 种日用品中,选出 3 种商品进行促销活动。
(1)试求选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率; (2)商场对选出的某商品采用抽奖的方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高 100 元,规定
购买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会:若中一次奖,则获得数额为 m 元的奖金;若中两次奖,则共获 得数额为 3m 元的奖金;若中三次奖,则共获得数额为 6m 元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖的概率都 是 1 ,请问:商场将奖金数额 m 最高定为多少元,才能使促销方案保证商场不亏?
3
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 (a, b ? R).
(1)若函数 f ( x) 在 x ? 1 出取得极值 10,求 a, b 的值;
(2)若对任意的 a ? ?? 4,???, f ( x) 在 x ? ?0,2?上单调递增,求 b 的最小值。
22. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a 为常数.
(1)当 a ? ?1 时,求 f (x) 的最大值;
(2) 若 f (x) 在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值; (3) 当 a ? ?1 时,试推断方程 f (x) = ln x ? 1 是否有实数解.
x2
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邢台一中 2013——2014 学年下学期第三次月考

高二年级数学(理科)试题 答案

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 A

C

C

D

D

D

B

B

C

B

A

B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.____ x ? y ? 4 ? 0 __

14. ___0.1________

15. ___[0,1]______________ 三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)

16. ____ a1 ? 5a2 ? 10a3 ? 10a4 ? 5a5 ? a6 ? 0 _____

18.解答: A ? ?0,?4?.
(1)? A ? B ? B,? B ? A
①若 0 ? B, 则 a 2 ? 1 ? 0, a ? ?1,
? ? 当 a ? 1 ,时 B ? x x 2 ? 4x ? 0 ? A,
当 a ? ?1, 时 B ? ?0? ? A,
②若 ? 4 ? B, 则 a 2 ? ?8a ? 7 ? 0, 则 a ? 7 或 a ? 1,

---------

1分 3分

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? ? 当 a ? 7 ,时 B ? x x 2 ? 16x ? 48 ? 0 ? ?? 12,?4?舍去。 ------ 5 分

③若 B ? ? ,则 ? ? 4( a ? 1)2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0, 解得 a ? ?1, ----- 7 分

综上, a ? ?1, 或 a ? 1.

------

8分

(2)? A ? B ? B,? A ? B
又 A ? ?0,?4?. 而 B 中最多有两个元素,

? A ? B, 即 a ? 1.

-------

12 分

19.证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边= 12 ? 22 =1, 4
∴等式成立.·····················································································································2 分 (2)假设当 n=k 时,等式成立,即

13+23+33+……+k3= k 2 (k ?1)2 . ···············································································4 分 4
那么,当 n=k+1 时,有

13+23+33+……+k3+(k+1)3= k 2 (k ?1)2 +(k+1)3.················································6 分 4

=(k+1)2( k 2 +k+1)=(k+1)2 k 2 ? 4k ? 4 = (k ?1)2 (k ? 2)2

4

4

4

= (k ?1)[(k ?1) ?1]2 .····································································································9 分 4
这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立.·······································································10 分

根据(1)和(2),可知对 n∈N*等式成立. ·································································12 分

20.解:(1)设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A,从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,

选出 3 种商品,一共有 C83种不同的选法,选出的 3 种商品中,没有家电的选法有 C36种.

所以,选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率为 P(A)=1-CC3638=194.

4分

(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 X,其所有可能的取值为 0,m,3m,6m(单位:元).

X=0 表示顾客在三次抽奖都没有获奖,所以 P(X=0)=(1-13)3=287;

同理,P(X=m)=C31×(1-13)2×13=49;

P(X=3m)=C23×(1-13)1×(13)2=29;

P(X=6m)=C33×(13)3=217.

所以奖金总额的分布列为

X

0

m

3m

6m

8 P
27

4

2

1

9

9

27

8分

顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 E(X)=0×287+m×49+3m×29+6m×217=43m. 10 分

由43m≤100,解得 m≤75. 故 m 最高定为 75 元,才能使促销方案对商场有利.

12 分

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21,解析(1)

f

?( x)

?

3x2

?

2ax

?

? b, 由题意可得 ?
?

f f

?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 (1) ? 1 ? a ? b ? a 2 ?

10

解得

?a ??b

? ?

4 ?11



?a ??b

? ?

?3 3

2分



?a ??b

? ?

4

?11

f

?( x)

?

3x2

?

8x

?

11, ?

?

0, 有极值点,满足题意;



?a ??b

? ?

?3 时 3

f

?( x)

?

3( x

? 1)2

?

0,

函数无极值点,舍去。

所以

?a ??b

? ?

4 ?11

5分

(2)因为对任意的 a ? ?? 4,???, f ( x) 在 x ? ?0,2?上单调递增,

所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 对任意的 a ? ?? 4,???, x ? ?0,2?恒成立。

取 F (a) ? 2xa ? 3x 2 ? b ? 0 对任意的 a ? ?? 4,???, x ? ?0,2?恒成立,

7分

因为 x ? 0 ,所以 F (a)min ? F (?4) ? ?8x ? 3x 2 ? b ? 0 对 x ? ?0,2?恒成立, 9 分

即 b ? (?3 x 2 ? 8 x)max

当x

?

4时 3

得 (?3x 2

? 8 x)max ?

16 3

11 分

所以 b ? 16 3

即 b 的最小值为 16 3

12 分

22. 解:(1) 当 a= --1 时,f(x)=-x+lnx,

f′(x)=-1+ 1 ? 1? x xx
当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, f (x)max =f(1)= -1………3 分

(2)

∵f′(x)=a+ 1 x

,x∈(0,e], 1 x



? ??

1 e

,

??

? ??



若 a≥ ? 1 ,则 f′(x)≥0, e

f(x)在(0,e]上增函数∴

f

(x)max =f(e)=ae+1≥0.不合题意…5 分

② 若 a< ? 1 ,则由 f′(x)>0 ? a ? 1 >0,即 0<x< ? 1

e

x

a

由 f(x)<0 ? a ? 1 <0,即 ? 1 <x≤e.

x

a

从而

f(x)在

? ??

0,

?

1 a

? ??

上增函数,在

? ??

?

1 a

,

e

? ??

为减函数



f

( x)max

=f

? ??

?

1 a

? ??

=-1+ln

? ??

?

1 a

? ??

令-1+ln

? ??

?

1 a

? ??

=-3,则

ln

? ??

?

1 a

? ??

=-2∴

?

1 a

=

e?2

,即

a=

?

e

2

.

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∵ ? e 2 < ? 1 , ∴a= ?e2 即为所求……………8 分 e

( 3 ) 由 ( 1 ) 知 当 a ? ?1 时 f ( x)max ? f (1) ? ?1

? f ( x) ? 1 又 令 g( x) ? ln x ? 1 则 x2

g?( x) ? 1 ? ln x x2
令 g?( x) ? 0, 则 x ? e. 当 0 ? x ? e, 时 g?( x) ? 0, g( x) 在 (0, e) 单调递增;
当 x ? e, 时 g?( x) ? 0, g( x) 在 (e,??) 单调递减。

所以

g( x)max

?

g(e)

?

1 e

?

1 2

?

1

所以 g( x) ? 1

所以 f ( x) ? g( x) 恒成立,

所以原方程没有实数解

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